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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
3.
Suponga que $f:(0,5) \rightarrow \mathbb{R}$ es una función tres veces derivable con polinomio de Taylor de orden 3 en $x_{0}=2$ dado por $$P_{3}(x)=2+3 x-2 x^{2}-\frac{1}{4} x^{3}$$
a) Hallar $f(2), f^{\prime}(2), f^{\prime \prime}(2)$ y $f^{\prime \prime \prime}(2)$.
a) Hallar $f(2), f^{\prime}(2), f^{\prime \prime}(2)$ y $f^{\prime \prime \prime}(2)$.
Respuesta
Para resolver este primer item vamos a usar uno de los conceptos claves que vimos en la primera clase de Polinomio de Taylor. Como nos dan el polinomio de Taylor de $f$ centrado en $x=2$, entonces sabemos que se cumple que:
Reportar problema
$f(2) = p(2)$
$f'(2) = p'(2)$
$f''(2) = p''(2)$
$f'''(2) = p'''(2)$
y acá paramos porque nuestro polinomio es de orden $3$.
Entonces, para obtener $f$ y sus derivadas evaluadas en $x=2$, simplemente vamos a evaluar en el polinomio y sus derivadas :)
$ f(2) = P(2) = -2 $
Calculamos ahora la derivada de $P$
$ P'(x) = 3 - 4x - \frac{3}{4}x^2 $
Entonces...
$f'(2) = P'(2) = -8$
Vamos con la derivada segunda:
$ P''(x) = -4 - \frac{3}{2}x $
$f''(2) = P''(2) = -7$
Y por último la derivada tercera:
$ P'''(x) = -\frac{3}{2} $
Así que es muy fácil:
$ f'''(2) = P'''(2) = -\frac{3}{2} $
Y listo, conociendo el Taylor de orden $3$ centrado en $x=2$, pudimos obtener cuánto valía $f(2)$, $f'(2)$, $f''(2)$ y $f'''(2)$